双周赛 22 – 3n块披萨

哇,事情越来越多了,现在已经不再是悠然的寒假了qwq。
所以从此以后不仅仅是不写zz美丽版的问题了,我只准备写我不会做的题了。
强迫症要改一改,有失才有得。

4. 3n块披萨

给你一个披萨,它由 3n 块不同大小的部分组成,现在你和你的朋友们需要按照如下规则来分披萨:

  • 你挑选 任意 一块披萨。
  • Alice 将会挑选你所选择的披萨逆时针方向的下一块披萨。
  • Bob 将会挑选你所选择的披萨顺时针方向的下一块披萨。
  • 重复上述过程直到没有披萨剩下。

每一块披萨的大小按顺时针方向由循环数组 slices 表示。
请你返回你可以获得的披萨大小总和的最大值。

样例

示例 1:

输入:slices = [1,2,3,4,5,6]
输出:10
解释:选择大小为 4 的披萨,Alice 和 Bob 分别挑选大小为 3 和 5 的披萨。然后你选择大小为 6 的披萨,Alice 和 Bob 分别挑选大小为 2 和 1 的披萨。你获得的披萨总大小为 4 + 6 = 10 。

示例 2:

输入:slices = [8,9,8,6,1,1]
输出:16
解释:两轮都选大小为 8 的披萨。如果你选择大小为 9 的披萨,你的朋友们就会选择大小为 8 的披萨,这种情况下你的总和不是最大的。

示例 3:

输入:slices = [4,1,2,5,8,3,1,9,7]
输出:21

示例 4:

输入:slices = [3,1,2]
输出:3

提示

  • 1 <= slices.length <= 500
  • slices.length % 3 == 0
  • 1 <= slices[i] <= 1000

思路

昨天状态实在是太差了,前一晚没睡好,午觉又因为焦虑失眠。
然后第二题简答题疯狂WA,总是有情况没有考虑到,甚至有了弃赛的念头,到最后只剩下不到30min写第四题。
令我开心的是我看了一眼的直觉是对的,区间DP,虽然怎么DP我想不出来了qwq。
菜菜的我所见过的区间DP都是dp[i][j]表示区间[i,j]的最优解,求解的过程是三重循环,第一层枚举起点,第二层枚举长度,第三层枚举转移点,然而这题似乎并不是这样……?
(2020/03/21)破案了,因为zz不是这么做的,而我看的这题的题解算不上区间DP……

【转化问题】

这道题其实是在求n 个首尾相连的元素中,选取 n/3 个不相邻元素所能获得的最大值
这只能靠猜想,我翻了一遍题解好像都没有严格的证明。

【状态表示】

dp[i][j] 表示在在区间 [0, j - 2] 块披萨中,不相邻地取走不多于 i - 1 块披萨,并同时取走第 j 块披萨之后(此时一共取了 i 块披萨),最大的披萨总大小值。

【转移过程】

以六块披萨 1 2 3 4 5 6 为例。

首先更新 dp[1][0]dp[1][5],也就是只取这一块披萨,由初始化为 0dp[0] 一行转移过来,避免了边界情况。很显然,答案为 1 2 3 4 5 6

之后对于每一个 dp[i][j] = max(dp[i-1][0], ..., dp[i-1][j-2]) + slices[i][j] 。在 dp[i-1][0]dp[i-1][j-2] 中找一个最大值,这个最大值表示已经在 [0, j - 2] 区间取了 i - 1 块披萨,加上 slices[i][j] ,表示取了第 j 块披萨,一共取了 i 块披萨。更新完成。之所以是 j - 2 ,就是考虑到需要满足不相邻的条件。

转移到最后一行,相当于枚举了最后一个元素取 slices[0]slices[n-1] 的所有情况。找到最后一行的最大值,即为答案。

所以最后的状态如下。

dp[i][j] 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 6
2 1 2 4 6 8 10

【去掉首尾连接的情况】

最后要注意的是,这道题不只是一个单纯的vector,它是一个环。普通的不相邻情况已经在dp过程中通过 j - 2 避免了,但是首尾相邻的情况却没有考虑。

解决的办法就是进行两次dp,其中一次不考虑尾元素求得 ans1 ,另一次不考虑首元素求得 ans2 ,最终的 ans = ans1 + ans2 。这样,首尾元素不可能被同时选中。

上例,首先求 1 2 3 4 5 的答案,然后求 2 3 4 5 6 的答案,取二者最大值为最终答案。

代码

class Solution {
public:
    int maxSizeSlices(vector<int>& slices) {
        int n = slices.size();
        int dp[n/3+1][n]; memset(dp, 0, sizeof(dp));
        
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n/3; i++) {
            for(int j=0; j<n-1; j++) {
                int mx = 0;
                for(int k=0; k<j-1; k++) mx = max(mx, dp[i-1][k]);
                dp[i][j] = mx + slices[j];
            } 
        }
        int ans1 = 0;
        for(int i=0; i<n-1; i++) ans1 = max(ans1, dp[n/3][i]);

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n/3; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                int mx = 0;
                for(int k=0; k<j-1; k++) mx = max(mx, dp[i-1][k]);
                dp[i][j] = mx + slices[j];
            }
        }
        int ans2 = 0;
        for(int i=1; i<n; i++) ans2 = max(ans2, dp[n/3][i]);

        return max(ans1, ans2);
    }
};
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